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0 b

In der Mathematik bezeichnet man als arithmetisch-geometrisches Mittel zweier positiver reeller Zahlen eine gewisse Zahl, die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel liegt.

[Bearbeiten] Definition

Es seien a und b zwei nichtnegative reelle Zahlen. Ausgehend von ihnen werden induktiv zwei Folgen (an) und (bn) mit a0 = a, b0 = b definiert:

(arithmetisches Mittel) (geometrisches Mittel)

Die Folgen (an) und (bn) konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert M(a,b), der als arithmetisch-geometrisches Mittel von a und b bezeichnet wird.

[Bearbeiten] Einfaches Beispiel

Sei und. Dann ist

und und

[Bearbeiten] Einfache Eigenschaften

Für zwei nichtnegative Werte a und b gilt:

für ; Gleichheit gilt dabei genau für a = b. Montag - Freitag.

[Bearbeiten] Wichtige Eigenschaften

Monotonie: Für zwei positive Startwerte 0 < a0 < b0 gilt nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stets auch an < bn. Die Folge a0,a1,a2,. wächst monoton gegen den Grenzwert M(a,b) und die Folge b0,b1,b2,. fällt monoton gegen den Grenzwert M(a,b). Oder anders formuliert:Konvergenzgeschwindigkeit: Sei. S Messe Nord/ICC. Wegen der Abschätzung liegt ein Verfahren mit quadratischer Konvergenz vor.

[Bearbeiten] Historisches

Das arithmetisch-geometrische Mittel wurde unabhängig voneinander von den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und zuvor schon von Adrien-Marie Legendre entdeckt. Sie nutzten es, um die Bogenlänge von Ellipsen, d. h. also elliptische Integrale, näherungsweise zu berechnen. Braun Asia/Pacific B. Gauß etwa notierte die Gleichung

in seinen mathematischen Tagebüchern.