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Unter einer Elementarmatrix versteht man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, welche sich entweder durch die Änderung eines einzigen Eintrages oder durch Vertauschen zweier Zeilen von einer -Einheitsmatrix In unterscheidet. Multipliziert man eine -Matrix A von links mit einer Elementarmatrix, so entspricht das elementaren Zeilenumformungen der Matrix A. Diese umfassen das Addieren des α-fachen einer Zeile zu einer anderen, das Vertauschen von zwei Zeilen und das Multiplizieren einer einzelnen Zeile mit einem von Null verschiedenen Wert γ. Die Elementarmatrizen sind die Grundlage für den Gauß-Algorithmus. Mit ihnen kann ein lineares Gleichungssystem, welches in eine Matrix überführt wurde, auf Stufenform gebracht werden, um dann die Lösung des Systems nach speziellen Regeln abzulesen.

[Bearbeiten] Typen von Elementarmatrizen

Man unterscheidet drei Typen von Elementarmatrizen:

(hier sei K ein Körper, In eine Einheitsmatrix und Ei,j eine Standardmatrix (d. Algorithmus der Woche - Informatikjahr 2006. h. eine Matrix aus Nullelementen, mit der Ausnahme, dass an der Stelle i,j ein Einselement steht), wobei i als Zeilenindex und j als Spaltenindex der Matrizen verwendet wird)

[Bearbeiten] Typ 1

Diese Matrix hat in ihrer Hauptdiagonale nur Einselemente, ansonst nur Nullelemente, mit der Ausnahme der Stelle i,j, wo der Wert steht, wobei sein muss (d. h. der Wert α darf nicht in der Hauptdiagonalen stehen - sehr wohl aber in einer Zeile und Spalte ober- oder unterhalb dieser).

Erzeugt wird dies durch

Zur Abkürzung schreiben wir

man beachte jedoch, dass es sich dabei nicht um eine Standardnotation handelt.